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教学设计

学习目标

1. 经历「展开与折叠」的过程，知道正方体展开图共有 11 种，能按 1-4-1、2-3-1、2-2-2、3-3 分类。
2. 通过对面同色的直观验证，归纳「对面不相邻」的判断规律，能快速判断一个图形能否折成正方体。

易错点预设

• 以为「田」字形（2×2）也能折——四个面两两重合；以为面数够就一定能折。
• 把「相邻」看错行：隔着一条边的两个面未必相对，要沿折叠方向验证。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
想一想（约 5 分）	观察 11 种形态，先猜能否折成，按每行面数分类	「它们都能折成正方体吗？每类的横排有几个面？」	展开态（折叠度 0），上个/下个切换 11 种
做一做（约 10 分）	拖滑杆亲手折叠，边折边预测；辨析田字形、凹字形	「折到一半哪些面立起来了？为什么『田』字形不行？」	半折态（折叠度 0.35），滑杆控制折叠过程
议一议（约 8 分）	观察折叠后对面同色，回展开态数间隔，小组总结口诀并互相出题	「相对的两个面隔着几个面？口诀怎么说？」	折满态（折叠度 1）与展开态来回对照

板书式小结

正方体展开图共 11 种：1-4-1 型 6 种、2-3-1 型 3 种、2-2-2 型 1 种、3-3 型 1 种。判断口诀：对面不相邻——展开图上相对的两个面之间至少隔一个面；「田」字形、「凹」字形折不成正方体。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	反例辨析：哪种不是展开图	干扰项取三类真形态，正确项为「田」字形
2	事实记忆：展开图总数	8/10/11/12，锚定 11
3	规律理解：对面的位置规律	干扰项「紧挨着」直击「相邻」误区
4	规律应用：1-4-1 型对面判断	具体面编号定位，需数「隔一」
5	说理：五行折不成的原因	干扰项「面数太多」检验是否理解重叠本质

课堂用法

1. 全屏打开，环节条从「认一认」开始，按表格推进；每个环节的画面预设已配好，点按钮或按键盘左右键即到位，进度条显示环节进程。
2. 每个环节配了「讲解」弹层：引导语是抛给学生的问题，讲解词是环节知识点，备课或生讲时点开对照。
3. 折一折环节放手让学生先猜，再用滑杆验证；田字形、凹字形用「上个/下个」找不到（11 种里没有），顺势讲反面例子。
4. 找规律环节反复在展开态与折满态之间对照，落实「对面不相邻」口诀后，点「检测」做 5 题随堂检测，逐题出解析，最后得分定温故还是补讲。

适用教材

北师大版七年级上册第一章 1.2（主定位，环节按教材「想一想/做一做/议一议/随堂练习」栏目设计）；人教版五年级下册第三单元《长方体和正方体》可直接复用。

教学设计（handdrawn-25d · 手绘印刷风）

教材锚点：北师大版七年级上册第一章《丰富的图形世界》1.1 生活中的立体图形

页面结构（5 页）：封面家族像 → 认识六类立体（点卡翻面）→ 数一数欧拉公式（V−E+F=2）→ 连线检测 → 演示台

学习目标

1. 认识棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球，能按「柱/锥/球」与「有棱/无棱」分类。
2. 经历数顶点 V、棱 E、面 F 的过程，发现并验证欧拉公式 V−E+F=2。

易错点预设

• 三棱柱与四棱锥混淆：数底面——柱有两个底面，锥只有一个。
• 认为球没有表面：球有一个曲面。

检测设计：连线 6 题（物体→图形），即时判分。

数学测试：node tests/math.test.cjs（欧拉公式三例 + 柱锥公式 + 数据完整性）。

教学设计（wedulab-craft · 设计先行）

教材锚点：北师大版七年级上册第一章《丰富的图形世界》1.3 截一个几何体（已过 textbook-index 校验）

学习目标

1. 理解截面的概念（用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫截面），能说出截面是”平面与几何体表面相交”的交线围成的图形。
2. 经历截正方体的操作：拖动倾角与位置，归纳截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形，并用”正方体只有六个面，每个面最多贡献一条边”解释为什么最多六边形。
3. 通过截圆柱、圆锥认识圆、椭圆、矩形（过轴）、三角形（过顶点）、弓形等截面，为高中圆锥曲线埋”名字由来”的伏笔。

易错点预设

• 认为正方体能截出七边形：截面边数不超过面数——每个面与平面最多交出一条线段。
• 认为斜截圆柱还是”压扁的圆”：椭圆（近似）——用面板长短轴读数对比宽窄。
• 圆锥斜截只会答三角形：只有过顶点才是三角形；不过顶点的斜截是椭圆或弓形。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
想一想	举生活中截面的例子；观察水平截正方体	刀痕围成的图形叫什么？由谁相交而成？	正方体 θ=0° 水平截出正方形，缓速自转
做一做	上台拖 θ/d，凑 3~6 边形并记录	最多几边形？为什么到六边形就到头？	正方体体对角线截预设（正六边形）起步，自由拖动
议一议	换圆柱、圆锥操作并归纳	怎样截出圆、矩形、椭圆？过圆锥顶点呢？	圆柱斜截椭圆起步；圆锥三预设验证

检测设计（5 题，与 quiz 一致）

题干要点	答案	解析要点
截正方体不可能得到的截面	七边形	面数限制：6 个面最多贡献 6 条边
垂直于圆柱轴的截面	圆	平行于底面
过圆锥顶点且过轴的截面	等腰三角形	两条母线 + 底面直径
正方体过三条面对角线中点的截面	正六边形	体对角线垂直的平面
斜截圆柱（不平行底、不过轴）的截面	椭圆	上下边界圆弧过渡

同源说明：面板数字（形状名/顶点数/面积）与 3D 截面发光面来自同一份多边形裁剪计算（逐面 Sutherland-Hodgman → 交线链环 → 鞋带面积），显示与计算零分叉；自测脚本对 5 组预设做数值断言。

双版映射：主用 北师大版七上第一章《丰富的图形世界》1.3；人教版七上 1.2 第 4 课时（截几何体）同构可用。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第一章《丰富的图形世界》1.4 从三个方向看物体的形状

页面结构（5 页）：封面 → 搭积木看三向（按钮切换）→ 由视图反推（最少块数）→ 当堂检测 4 题 → 演示台

易错点：左视方向左右易反（口诀：从左往右看）；俯视决定行列数不决定高度。

数学测试：node tests/math.test.cjs（主/左/俯视图计算 + 最少块数界 + quiz 合法性）。

教学设计

学习目标

1. 能说出数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），会在数轴上用点表示有理数。
2. 借助点在数轴上的位置，说出相反数的几何意义（关于原点对称）与绝对值的意义（到原点的距离），并能据此比较两个有理数的大小。

易错点预设

• 画数轴漏要素：没有正方向箭头或单位长度不统一，误以为一条画了刻度的直线就是数轴。
• 把绝对值当成”去掉负号”的操作，说不出它是”到原点的距离”这一几何意义。
• 比较大小依赖直觉：认为 -5 大于 -3（数字大就大），不看数轴上点的左右位置。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
想一想（约 5 分）	观察温度计刻度与数轴的对应，说出数轴三要素	「一条直线要满足哪三个条件才能当数轴？温度计为什么算一条竖着的数轴？」	数轴三要素高亮标注（原点/正方向/单位长度），点停在 +2
做一做（约 8 分）	拖动金点左右移动，读出点表示的数；与 0 比大小；方向键微调半格	「点在原点右边表示什么数？拖到 -3.5，它比 0 大还是小？谁来读出它的相反数？」	自由拖动模式，读数板实时显示数/相反数/到原点距离
议一议（约 7 分）	观察对称点与两段等长弧线，讨论绝对值的几何意义，小组总结比较大小的方法	「2 和 -2 到原点的距离各是多少？数轴上越往右的数越怎样？谁用一句话总结比大小？」	对称演示模式：-p 镜像点、

板书式小结

数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。任何一个有理数都能用数轴上的一个点表示。只有符号不同的两个数互为相反数，它们对应的点关于原点对称；数 a 的绝对值 |a| 表示数 a 对应的点到原点的距离，距离非负，所以 |a| ≥ 0。比较大小看位置：数轴上的点越靠右，表示的数越大，负数比较大小离原点越远的反而越小。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	数轴三要素	干扰项混入”刻度密集""长度有限”等非要素
2	数轴读数（含负分数）	干扰项符号或半格错读
3	相反数的概念	干扰项”倒数""绝对值”概念混串
4	绝对值的几何意义	干扰项”去掉负号的运算”只讲操作不讲意义
5	借助数轴比较大小	干扰项”数字大的数就大”直击 -5 与 -3 误区

课堂用法

1. 全屏打开，从「想一想」开始：先请学生对着高亮的三要素说一遍，再用温度计反例（漏了正方向箭头）辨析。
2. 「做一做」请学生上台拖点，全班齐读读数板三行；拖到负半轴后追问”比 0 大还是小”，落实右大左小。
3. 「议一议」观察对称点与等距弧线后，先小组说绝对值的意义再点开讲解弹层对照。
4. 点「检测」做 5 题随堂检测；第 5 题错的回看「议一议」，重练”离原点越远负数越小”。

适用教材

北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》（主定位，环节按教材「想一想/做一做/议一议」栏目设计）；人教版七年级上册第一章 1.2《有理数》数轴部分可直接复用。

教学设计

教材锚点：北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.4 有理数的加法（已过 textbook-index 校验）

学习目标

1. 借助数轴上两次移动的合成，说出有理数加法的几何意义，会用「先定符号、再定绝对值」归纳同号、异号、与 0 相加三类法则。
2. 通过换序操作验证加法交换律 a + b = b + a，并能用法则计算含负数的加法算式。

易错点预设

• 异号相加先算绝对值之和再随意定号：应先比较两加数绝对值大小，取较大者的符号，再算差。
• 把 -6 + 6 算成 -12：互为相反数的两数相加得 0，终点回原点。
• 认为交换律只对正数成立：换序后终点不变，负数参与依然成立。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
想一想	说两次移动后的终点位置	向东 3 米再向西 5 米，最后停在哪？加法在数轴上是什么？	三要素标注 + 预设 3 + (-5) 行程
做一做	拖金、紫箭头端点凑三类算式	同号、异号、与 0 相加，终点和符号各怎么定？	加法行程自由操作，读数卡同步两步与和
议一议	观察换序预设，小组归纳并举例	先 -5 再 +3 与先 +3 再 -5，终点变了吗？	换序预设 (-5) + 3，对比交换律

检测设计（5 题，与 quiz 一致）

题干要点	答案	解析要点
3 + (-5) 数轴结果	-2	异号：取大绝对值符号，差 2
-4 + (-3)	-7	同号：符号不变，绝对值相加
-6 + 6 依据	0，相反数相加得 0	终点回原点
交换成 (-5) + 8	都是 3，交换律成立	换序终点不变
降 4 ℃ 升 7 ℃	上升 3 ℃	先规定正负再译成加法

双版映射：主用北师大版七上 2.4；人教版七上 1.3.1《有理数的加法》同知识点可直接复用（环节动词换人教版问句风格）。

教学设计

教材锚点：北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.5 有理数的减法（已过 textbook-index 校验）

学习目标

1. 借助数轴上的移动方向，说出减法的几何意义，归纳并会用减法法则 a − b = a + (−b)。
2. 经历”减法转化为加法”的过程，体会负数让减法永远可做，为加减混合运算统一成连加做铺垫。

易错点预设

• 减负数时方向不反转：3 − (−2) 算成 1，应转化为 3 + 2 = 5。
• 只顾变号忘了被减数不动：a − b 变加法时把 a 也取负。
• 认为 0 − 5”不够减”无法计算：终点在原点左侧，结果为 −5。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
想一想	列温差算式，说移动方向	减去 −2 该往哪边走？终点在哪？	三要素标注 + 预设 3 − (−2) 行程
做一做	拖紫箭头换减数正、负、零	减正数、减负数方向有何规律？差怎么变？	减法行程自由操作，读数卡同步位移与差
议一议	观察 0 − 5 预设，讨论封闭性	小学”不够减”的算式现在都有答案吗？	预设 0 − 5，终点落负数区

检测设计（5 题，与 quiz 一致）

题干要点	答案	解析要点
3 − (−2) 及走法	5，向东 2	减负数方向反转
0 − 5 说明什么	−5，减法永远可做	负数破”不够减”
−4 − (−6)	2	转化为 −4 + 6
a − b 的加法转化	a + (−b)	只变减数符号
潜水艇 −40 再下潜 15	−55 米	实际问题先译式

双版映射：主用北师大版七上 2.5；人教版七上 1.3.2《有理数的减法》同知识点可直接复用。

教学设计

学习目标

1. 经历「摊平—折叠」的过程，理解表面积就是六个面面积的和，能按上下、前后、左右三组对面写出算式。
2. 改变长、宽、高，观察算式同步变化，归纳出 S = 2(ab + ah + bh)、V = 底面积 × 高。

易错点预设

• 数面漏掉对面：只算 4 个面。用「点亮一组对面」的功能让学生看到对面成对。
• 混淆「表面积」与「体积」的单位与含义——面积是铺面，体积是装东西。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
认一认（约 5 分）	读长宽高（5×3×4），点算式行看对应对面发光	「S = 30 + 40 + 24，每个数来自哪两个面？」	dims=[5,3,4]，unfold=0，高亮「上下」组
摊一摊（约 6 分）	拖展开滑杆把盒子摊平成十字展开图，数一数六个面	「摊平后哪两个面是一对？你怎么看出来的？」	unfold=1（完全摊平），无高亮
变一变（约 6 分）	把长改成 4，观察算式与数值联动；使长宽高相等观察正方体算式	「长变了哪组算式跟着变？什么时候变成 S = 6a×a？」	dims=[4,3,4]，unfold=0，无高亮

板书式小结

长方体表面积 = 三组对面面积之和：S = 2(ab + ah + bh)；体积 = 底面积 × 高 = abh。长宽高相等时是正方体：S = 6a²，V = a³。对面完全相同，数面时成对地数。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	对面相同的概念	干扰项「一定正方形」检验特例与一般
2	表面积公式应用	干扰项混入体积算式
3	公式里「2」的来源	直击「不知道 2 从哪来」的机械套用
4	正方体体积计算	16/48/64/96 三公式数值对调
5	特殊与一般的关系	检验「正方体公式是特例」的理解

课堂用法

1. 全屏打开，保持盒状。拖动长、宽、高滑杆，请学生读出每个面上的尺寸标注，再说一说右侧面板里表面积、体积算式哪些数变了、哪些没变。
2. 把展开滑杆慢慢拉到最右，六个面摊平成一张展开图。按颜色找出三组对面，对着面板里的三行算式，说清楚表面积公式 2×(长×宽＋长×高＋宽×高) 的每一项对应哪两个面。
3. 点正方体按钮，长宽高变成相同数字，面板换成 S=6×棱长×棱长、V=底面积×高。把鼠标停在某一行算式上，对应的两个面会亮起来，请学生解释这一项为什么要乘 2。
4. 每个环节配了「讲解」弹层：引导语抛问题，讲解词给公式每一项的几何来源；点「检测」做 5 题，第 3 题错的回看「摊一摊」讲解。

适用教材

人教版五年级下册第三单元《长方体和正方体》表面积与体积小节；其他版本五年级下册相应单元可参考使用。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.1 有理数

页面结构（5 页）：封面（四城温度计）→ 升降温度计读正负 → 数卡五篮分类 → 当堂检测 4 题 → 演示台

易错点：0 的归属（既不是正数也不是负数）；小数可以化分数所以是分数。

数学测试：node tests/math.test.cjs（分类五类 + 分数格式化 + 数据完整性）。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.2 数轴

页面结构（5 页）：封面 → 三要素逐个拼装 → 点数轴描金点 → 检测 4 题 → 演示台

易错点：单位长度要均匀；负数在原点左侧先定方向再数格。

数学测试：node tests/math.test.cjs（坐标换算往返一致 + quiz 合法性）。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.3 绝对值

页面结构（5 页）：封面（小狗找家）→ 拖狗读距离 → 双点比大小（拖拽）→ 当堂检测 4 题 → 演示台

易错点：绝对值=距离恒非负；两负数比较绝对值大反而小；|a|=-a 的分类讨论。

数学测试：node tests/math.test.cjs（abs + cmpNeg 三例 + quiz 合法性）。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.6 有理数的加减混合运算

页面结构（5 页）：封面水位图 → 逐天播报列式 → 统一加法三步改写 → 检测 4 题 → 演示台

易错点：符号归属（-12 整体是负数）；同号先合并再算。

数学测试：node tests/math.test.cjs（水位序列 + unify 改写 + 混合求值）。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.7 有理数的乘法

页面结构（5 页）：封面速度×时间 → 翻转符号找规律 → 负负得正双解释 → 检测 4 题 → 演示台四象限

易错点：负×负=正（分配律一致性解释）；多因数积符号看负因数个数奇偶。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第二章《有理数及其运算》2.8 有理数的除法

页面结构（5 页）：封面均分图 → 除=乘倒数翻卡 → 符号表与零 → 检测 4 题 → 演示台

易错点：倒数（乘积 1）与相反数（和为 0）混淆；0 作除数无意义。

教学设计

学习目标

1. 会从正面、上面、左面观察几何体，说出对应视图的形状。
2. 由三视图反推简单组合体的构成，发展空间观念。

易错点预设

• 分不清「从哪边看」：三支彩色方向箭头与三张视图卡颜色一一对应，先认方向再谈视图。
• 认为看不到的面就不存在——主视图里圆柱藏在正方体后面，俯视图却看得见。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
认方向（约 4 分）	对照三支箭头与三张视图卡，说清「从哪个方向看」	「蓝色箭头从哪来？它对应哪张卡片？」	solid=cube，视图卡为问号遮罩
猜视图（约 8 分）	先猜圆锥三视图形状，再点击卡片揭晓验证	「圆锥的主视图和左视图一样吗？俯视图呢？」	solid=cone，遮罩待揭晓
说规律（约 6 分）	观察组合体（正方体上叠圆柱）揭晓后的三视图，说遮挡关系	「主视图里圆柱的下半截去哪了？哪张视图能看见？」	solid=combo，open=true 全部揭晓

板书式小结

三视图从正面、上面、左面三个方向观察同一物体：主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等。看不见的被挡住的那部分，会在另一个方向的视图里出现。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	三视图观察规则	干扰项「转动物体」「从下往上看」直击操作误区
2	圆锥俯视图	干扰项「圆」漏圆心点
3	等腰三角形的两腰含义	干扰项「高」「直径」混淆轮廓与内部线段
4	「长对正」的所指	三句口诀各管一对视图的辨析
5	组合体作图步骤	干扰项「只画一面」检验方法理解

课堂用法

1. 全屏打开，默认正方体。先拖动旋转观察直观图，再对照三支彩色箭头说一说：金色从正面看、紫色从左面看、蓝色从上面看，箭头颜色与右侧卡片边上的色块一致。
2. 三张视图卡片默认盖着。请学生在纸上画出从正面看到的形状，再点击对应卡片揭晓，对照线框图修正自己的画法；依次完成三个方向。
3. 点底部答案按钮全部揭开，三个方向一起对照。切到组合体，追问：俯视图里圆落在正方形什么位置？从正面看为什么是下面正方形、上面矩形？
4. 每个环节配了「讲解」弹层：引导语抛问题，讲解词给定义与「长对正、高平齐、宽相等」的对应关系；点「检测」做 5 题。

适用教材

人教版七年级上册第四章《几何图形初步》从不同方向看立体图形；北师大版七年级上册第一章《丰富的图形世界》从三个方向看物体的形状；九年级下册三视图教学可复用。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第三章《整式及其加减》3.1 字母表示数

页面结构（5 页）：封面火柴棒 → 拖 n 三种列式 → 字母意义卡片 → 检测 4 题 → 演示台大数目

易错点：三种列式法展开后同源（3n+1）；字母表示的是数不是量词。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第三章《整式及其加减》3.2 代数式

页面结构（5 页）：封面翻译机 → 对对碰配对 → 代入机四式联动 → 检测 4 题 → 两位数演示台

易错点：负数/分数代入加括号；减法除法的文字顺序；两位数是 10a+b 不是 ab。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第三章《整式及其加减》3.3 整式

页面结构（5 页）：封面 → 分拣流水线 → 点项找次数（SVG 项卡片）→ 检测 4 题 → 家族总表

易错点：π 是数不是字母；次数 = 字母指数和（单项式）/最高次项次数（多项式）；常数项 0 次。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第三章《整式及其加减》3.4 整式的加减

页面结构（5 页）：封面苹果橙子 → 四箱分拣 → 去括号三步 → 检测 4 题 → 全自动化简演示台

易错点：同类项=字母与同字母指数都相同；去括号负号漏变号是最常见错误。

教学设计

学习目标

1. 经历拖动 k、b 观察图像变化的过程，能说出一次函数图像的增减性与 b 的几何意义。
2. 类比迁移到反比例函数，能说出 k 的符号与双曲线所在象限的关系，知道 k = 0 时无图像的原因。

易错点预设

• 把「k < 0 时 y 随 x 增大而减小」记成图像「下降」——图像是直线，是倾斜方向变缓。
• 以为反比例函数 k = 0 只是「图像看不见」，说不出「y = k/x 分母无意义」的原因。
• 混淆 b 的符号与交点横坐标——b 是与 y 轴交点的纵坐标。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
读一读（约 4 分）	读出 y = 2x + 1 与两轴交点，指出式子中 1 对应的位置	「式子里的 1 写到了图像的哪个位置？」	一次函数 k=2, b=1 标准视图
变 k（约 6 分）	先预测 k 变负后直线的转向，再拖 k 验证，对照性质表增减性	「k 从 2 拖到 -2，直线怎么转？增减性换了什么说法？」	一次函数 k=-2, b=1
变 b（约 6 分）	拖 b 从 1 到 -3，观察平移与交点移动，说 b 的几何意义	「直线往哪边平移？谁用一句话说 b 的意义？」	一次函数 k=2, b=-3
反比例（约 8 分）	换 y = 6/x 观察象限，拖 k 过零，解释无图像	「k 为正时两支在哪个象限？拖到 0 为什么不见了？」	反比例函数 invK=6 标准视图

板书式小结

一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）：k > 0 时 y 随 x 增大而增大，k < 0 时减小；b 是直线与 y 轴交点的纵坐标，改变 b 直线上下平移；b = 0 时为正比例函数，图像过原点。反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）：k > 0 两支在一、三象限，k < 0 在二、四象限；同支内 k > 0 时 y 随 x 增大而减小，k < 0 时增大；k = 0 时分母无意义，无图像。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	k、b 符号与象限判断	四选一：y = -2x+1 过哪三个象限，干扰项覆盖符号漏判
2	概念辨析：正比例函数条件	干扰项 k = 0 直击「一次与正比例混淆」
3	b 的几何意义应用	干扰项「旋转」「变陡」检验平移与倾斜是否混淆
4	反比例象限与 k 符号	干扰项含「
5	k = 0 无图像的说理	干扰项「显示问题」检验是否理解分母无意义

课堂用法

1. 全屏打开，默认一次函数 y = 2x + 1。请学生先预测「k 变小、变成负数时直线怎么转」，再拖 k 滑杆验证；拖 b 滑杆观察直线平移，读出蓝点标出的与 y 轴交点。
2. 每个环节配了「讲解」弹层：引导语抛问题，讲解词给结论，生讲生评时点开对照。
3. 滚轮缩放、拖动平移图面，找到直线与 x 轴的交点，对照性质表里的分数坐标；点复位按钮回到标准视图，把 b 拖到 0，看性质表换成正比例函数的结论。
4. 点反比例函数按钮，拖 k 从正到负，看两支双曲线交换象限；把 k 拖到 0，让学生解释为什么此时无图像；最后点「检测」做 5 题，逐题出解析，得分低时回看「变 k」「反比例」两个环节。

适用教材

人教版八年级下册第十九章《一次函数》图像与性质小节，九年级下册第二十六章《反比例函数》可复用；北师大版八年级上册第四章《一次函数》相应课时可参考。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第四章《基本平面图形》4.1 线段、射线、直线

页面结构（5 页）：封面三线并排 → 切换对比 → 拖 n 数线段 → 检测 4 题 → 对比总表

易错点：射线的表示端点字母在前；n 点线段数 n(n-1)/2 不要重复计数。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第四章《基本平面图形》4.2 比较线段的长短

页面结构（5 页）：封面叠合 → 双滑杆比较 → 中点（含”线段外等距点非中点”辨析）→ 检测 4 题 → 折纸演示台

易错点：中点必须在线段上；叠合法先对齐起点。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第四章《基本平面图形》4.3 角

页面结构（5 页）：封面旋转出角 → 量角器贴合 → 度分秒换算机 → 检测 4 题 → 钟面角演示台

易错点：量角器内外圈按 0° 线位置选读；度分秒 60 进制借位进位。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第四章《基本平面图形》4.4 角的比较

页面结构（5 页）：封面折纸平分 → 角的和差双滑杆 → 角平分线 → 检测 4 题 → 余补速查台

易错点：角平分线三等式互化；∠AOC 在内部相减/外部相加两种情形。

教学设计

学习目标

1. 通过拖动 a、b、c，说出各系数对抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点的影响。
2. 会由图像读出对称轴 x = -b/2a 与顶点坐标，并能反推系数符号。

易错点预设

• 认为 a 决定「上下平移」——a 决定开口方向与宽窄，c 才是与 y 轴交点。
• 对称轴公式 x = -b/2a 里 a、b 异号时轴在 y 轴右侧，容易弄反。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
看开口（约 5 分）	观察 y = x² - 2x - 3，拖 a 从 1 到 -1 看开口翻转	「a 从正变负，图像怎么变？开口宽窄谁说了算？」	a=-1→1 过渡，b=-2, c=-3
找顶点（约 6 分）	拖 b 改变对称轴位置，读出紫色虚线与顶点坐标	「b 变大对称轴往哪边跑？x = -b/2a 验证一下。」	a=1, b=2, c=-3
数交点（约 6 分）	拖 c 上下平移，数与 x 轴交点个数，读 Δ 与两根	「c 从 -3 拖到 1，交点少了几个？Δ 谁决定的？」	a=1, b=-2, c=1（Δ=0 相切）

板书式小结

y = ax² + bx + c（a ≠ 0）：a 定开口方向与宽窄，c 定与 y 轴交点 (0, c)；对称轴 x = -b/2a，顶点 (-b/2a, (4ac-b²)/4a)；Δ = b² - 4ac 定与 x 轴交点个数：Δ > 0 两个、Δ = 0 一个（相切）、Δ < 0 无。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	a 管开口、c 管交点的分工	干扰项把两个系数的职责对调
2	对称轴公式记忆	干扰项含漏负号版本
3	「左同右异」规律应用	干扰项直击 a、b 位置关系易错点
4	判别式与交点个数	三种 Δ 情况辨析
5	c 的平移效应	干扰项「交点数不变」检验平移影响交点的理解

课堂用法

1. 全屏打开，默认 y = x² - 2x - 3。请学生先预测 a 从 1 拖到 -1、|a| 变大时开口怎么变，再拖 a 滑杆验证；观察金色抛物线随 c 滑杆上下平移，读出与 y 轴交点恒为 (0, c)。
2. 拖 b 滑杆，对照紫色虚线对称轴与顶点标注读出 h、k，看右侧顶点式和三行配方推导如何跟着变；点复位回到标准视图再试一组。
3. 每个环节配了「讲解」弹层：引导语抛问题，讲解词给规律与口诀（左同右异、Δ 三情况）。
4. 只调 c 滑杆，观察性质表最后一行 Δ = b² - 4ac 从两个交点变到一个、再到没有，请学生用根的判别式解释；最后点「检测」做 5 题定讲练节奏。

适用教材

人教版九年级上册第二十二章《二次函数》图像与系数小节；北师大版九年级下册第二章《二次函数》相应课时可参考。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》5.1 方程

页面结构（5 页）：封面天平盒子 → 拖 x 求平衡 → 文字方程对照 → 检测 4 题 → 3x+1=16 演示台

易错点：方程=含未知数的等式（两个条件缺一不可）；「解」与「解方程」的区别。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》5.2 等式的基本性质

页面结构（5 页）：封面 → 同加减操作台（操作记录）→ 同乘除与除 0 → 检测 4 题 → 三步走演示

易错点：性质 2 除数非零条件；两边必须做”同样的”操作。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》5.3 一元一次方程的解法

页面结构（5 页）：封面移项飞行动画 → 三步解法表 → 五步曲（去分母五步）→ 检测 4 题 → 系数生成器演示台

易错点：移项忘变号；去分母漏乘不含分母的项；解完要检验。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》5.4 一元一次方程的应用

页面结构（5 页）：封面相遇 → 拖 t 相遇问题（审设列解验）→ 调配问题滑杆 → 检测 4 题 → 参数改动场

易错点：相遇=路程之和、追及=路程之差；调配中 x 的去向（甲减乙加）。

教学设计

学习目标

1. 经历「猜想—验证」发现同弧上圆周角相等、圆周角等于同弧圆心角的一半。
2. 掌握直径所对圆周角是直角，并能用于简单判断。

易错点预设

• 把「同弧」看成「同侧」：P、Q 在弧的两段时是互补关系（和为 180°），不是相等。
• 圆心在圆周角外部/内部时图形变式认不出——资源里拖 P 跨过直径即可看到变化。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
猜一猜（约 4 分）	观察 ∠APB 与 ∠AQB，先猜大小再拖 P 验证	「P 沿弧拖动，∠APB 的度数变不变？」	A=200, B=340, P=60, Q=130
验一验（约 7 分）	读面板三角：两个圆周角相等且为圆心角一半；换 A、B 再验	「70°、70°、140° 之间有什么关系？换一组还成立吗？」	A=190, B=350, P=70, Q=110
用一用（约 5 分）	把 AB 调成直径，发现两角恒为 90°，总结结论	「AB 是直径时∠APB 是多少？拖拖看会不会变。」	A=180, B=0, P=90, Q=270（AB 为直径）

板书式小结

同弧（等弧）上的圆周角相等；圆周角等于同弧上圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角（90°）。判断时先看两个角是否对着同一条弧。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	圆周角定义	干扰项混入圆心角、任意弦夹角
2	定理：周角与心角倍数关系	干扰项含「互余」「一半方向反了」
3	同弧等角的不变性	干扰项「随位置变化」直击拖动前的直觉
4	直径对直角	干扰项「随 P 变化」检验推论是否真懂
5	直径的判定（逆用）	干扰项「最长弦」混淆性质与判定

课堂用法

1. 全屏打开。拖 P 沿圆移动（不越过 A、B），请学生先猜 ∠APB 变不变，再观察金色标注的度数；解释为什么只要 P 留在同一段弧上，圆周角就不变。
2. 拖 Q 与 P 放在同一段弧上，读出 ∠AQB 与 ∠APB 相等；对照紫色圆心角 ∠AOB 和面板里的倍数关系式，验证圆周角等于同弧圆心角的一半。
3. 每个环节配了「讲解」弹层：引导语抛问题，讲解词给定理、证明思路与「左同右异」类口诀。
4. 点直径按钮，AB 变为直径，把 P 拖到圆上任意位置，∠APB 恒为 90°；最后点「检测」做 5 题，第 5 题判定题错的回看「用一用」讲解。

适用教材

人教版九年级上册第二十四章《圆》圆周角小节；北师大版九年级下册第三章《圆》圆周角定理相应课时可参考。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第六章《数据的收集与整理》6.1 数据的收集

页面结构（5 页）：封面点阵人群 → 调查方式切换 → 代表性对比表 → 检测 4 题 → 随机抽样模拟器

易错点：总体是”考察指标的全体”不是人群本身；破坏性调查只能抽样；样本要有代表性。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第六章《数据的收集与整理》6.2 数据的整理

页面结构（5 页）：封面 40 票散点 → 逐票唱票划记 → 频数分布表 → 检测 4 题 → 表转条形图

易错点：频率之和恒为 1；正字每画 1 个数据。

教学设计（handdrawn-25d）

教材锚点：北师大版七年级上册第六章《数据的收集与整理》6.3 统计图的选择

页面结构（5 页）：封面条形 → 一键切三图 → 纵轴截断陷阱（92/90 分视觉对比）→ 检测 4 题 → 选图速查表

易错点：扇形图看不出总量；纵轴截断夸大差异；选图先想”要讲什么故事”。

教学设计

学习目标

1. 借助单位圆理解 sin、cos、tan 的定义：角终边与圆交点的坐标（或斜率）。
2. 观察三角函数图像随角连续变化的生成过程，能读出特殊角的三角函数值。

易错点预设

• 把 sin 画成 x 坐标——金色线段是纵坐标（正弦），紫色才是横坐标（余弦）。
• tan 在 90° 附近「消失」的原因：终边竖直，斜率不存在。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
认一认（约 5 分）	读 60° 时三条彩色线段与圆上点的坐标	「金线段长是哪个值？对应点坐标怎么写？」	mode=sin，theta=60，暂停
描一描（约 6 分）	播放键自动扫过一个周期，看正弦曲线被逐点描出	「角从 0 转到 360°，曲线为什么先升后降再来一遍？」	mode=sin，theta=30，播放中
辨一辨（约 5 分）	切到 tan，观察 45° 的切线段，试着拖向 90°	「为什么接近 90° 时蓝色线段猛地变长又消失？」	mode=tan，theta=45，暂停
找规律（约 4 分）	读 150° 的 sin 值，联系诱导公式 sin(180°-α)=sin α	「150° 和 30° 的正弦为什么一样大？」	mode=sin，theta=150，暂停

板书式小结

设角 α 的终边与单位圆交于 P(x, y)，则 sin α = y（金），cos α = x（紫），tan α = y/x（蓝，α ≠ 90°）。图像就是这三个值随角连续变化的轨迹；sin(180° - α) = sin α，cos(180° - α) = -cos α。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	单位圆定义	干扰项混入横坐标、半径、夹角
2	特殊角精确值	30° 与 60° 的 sin 值对调陷阱
3	tan 的定义域	干扰项含 y = 0 的「假不存在」
4	诱导公式的几何来源	负号陷阱检验象限符号
5	象限符号律	干扰项覆盖 stc 口诀各象限误记

课堂用法

1. 全屏打开，默认 θ = 60°（特殊角，面板显示精确值）。请学生读出圆内金色竖段、紫色横段的含义，对照右侧 y = sin θ 曲线上的当前点，说出线段长与坐标的对应关系。
2. 每个环节配了「讲解」弹层：引导语抛问题，讲解词给定义、符号律与诱导公式的几何来源。
3. 点播放按钮，角度从当前值扫到 360°，曲线上的粗轨迹同步描出；暂停后切换 cos、tan 按钮，观察同一段扫角描出的不同曲线，tan 模式下圆内改画过 A 点的切线段。
4. 拖动圆上的点慢慢经过 30°、45°、90° 等位置，靠近时自动吸附并显示根式精确值；最后点「检测」做 5 题，第 2、4 题错的回看「找规律」讲解。

适用教材

人教 A 版必修第一册第五章《三角函数》三角函数的概念与图像小节；其他版本相应章节可参考。

教学设计

学习目标

1. 经历用平面截正方体的过程，认识截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形。
2. 迁移到旋转体：了解平面截圆锥所得曲线（圆、椭圆等）随角度变化。

易错点预设

• 以为截面最多是四边形——斜着切能切出六边形，让学生亲手动一次。
• 把「截面形状」与「切口位置」混淆：同一几何体不同角度截面形状不同。

环节设计

环节	学生活动	教师提问	资源状态
认一认（约 4 分）	观察正方体被斜切出六边形截面，读形状判断	「六边形？每条边来自哪个面？」	solid=cube，斜角较大，gap=0.3 分离
切一切（约 8 分）	拖方位与倾角滑杆，把截面从六边形一路变回正方形	「什么角度时是正方形？什么时候变成梯形？」	solid=cube，el=0 水平切，gap=0.3
换圆锥（约 6 分）	换圆锥，改变切面倾角，观察圆变椭圆	「切面斜一点，截面还是圆吗？」	solid=cone，el=40，gap=0.3

板书式小结

截面是平面与几何体表面的交线围成的图形。正方体截面按切角不同可以是三角形、四边形、五边形、六边形（最多六边形，因为正方体有六个面）；圆锥沿轴切是等腰三角形，斜切得椭圆，垂直于轴切是圆。

随堂检测（5 题，答完即出解析与得分）

题号	考查点	选项设计
1	截面边数上限的原理	干扰项 8 混淆顶点数与面数
2	水平截面的形状	干扰项含斜切才有的形状
3	六边形的相交面数条件	直击「边数=相交面数」的理解
4	圆锥截线与夹角关系	三种曲线的分界条件辨析
5	圆锥曲线统称的由来	干扰项「方程含平方项」等非本源说法

课堂用法

1. 全屏打开，默认正方体、过中心的斜平面，左上角显示截面：六边形。拖动画面旋转，从不同角度确认金色截面落在正方体内。
2. 只动倾角滑杆：0° 时是正方形，慢慢加大依次出现五边形、六边形；再拖平移滑杆把平面移出几何体，观察截面消失。每一步先请学生说出预测，再看左上角的形状名对照。
3. 切换圆柱、圆锥：圆柱倾角 0° 得到圆，斜切得到椭圆；圆锥斜切角度不同，左上角会在椭圆、抛物线、双曲线之间切换（平面与轴的交角和母线倾角的关系）。拖开切开滑杆，把两半分开检查截面。
4. 每个环节配了「讲解」弹层：引导语抛问题，讲解词给「边数=相交面数」与圆锥截线的夹角判据；点「检测」做 5 题。

适用教材

人教 A 版必修第二册第八章《立体几何初步》截面问题；选择性必修第一册《圆锥曲线》开篇圆锥截线的来历可呼应；其他版本相应章节可参考。